Мою ставку выбили и мою прошлую должность ликвидировали - можно ли уволить меня без отработки двух недель?

Каких-либо "отработок" не существует, и законом не предусмотрено.

Вместо них есть срок предупреждения о расторжении трудового договора по инициативе работника.

Во время предупреждения работать не обязательно: можно болеть, исполнять государственные или общественные обязанности, сдавать кровь, проходить диспансеризацию, отбывать административный арест и т.д.

Поэтому предупреждение не стоит называть "отработкой".

Заявление об увольнении вы подали, его должны были зарегистрировать, а у вас должна была остаться копия заявления с отметкой о приеме.

Если такой копии нет, вам необходимо убедиться в регистрации ранее поданного заявления, записать его регистрационный номер, и, при желании, письменно подтвердить, что оно не отзывалось, и по истечении срока предупреждения вы непременно расторгните трудовой договор.

Подача заявления о переводе на другую работу (с занятостью полный рабочий день) не может отменить ранее сделанное заявление о предстоящем увольнении, если не подано заявление об отзыве предупреждения.

Увольнение из организации связано с прекращением любых трудовых правоотношений с ней, и не может увязываться со сменой названия должности или продолжительности рабочего дня, а равно со сменой других условий труда.

Поэтому вас ввели в заблуждением утверждением о том, что якобы прежней должности нет, и будто бы по этой причине с нее не могут уволить. Вам просто бессовестно лгут!