Можно ли перевестись на заочное отделение в институте с первого курса, если сдана только первая сессия?

Нет. не можете по общему правилу. Иное может быть установлено в локальных актах вуза. Изучите их (ст. 30 ФЗ Об образовании)

Надо смотреть локальный акты конкретного образовательного учреждения, в частности, Положение о переводе на другие формы обучения. Вообще-то это законом не запрещено, все решается на местах при наличии свободных местст.30 Федерального закона от 29 декабря 2012 г. N 273-ФЗ "Об образовании в Российской Федерации"

Можно. Порядок перевода регламентируется локальным актом самого образовательного учреждения.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 26.07.2019) "Об образовании в Российской Федерации"

Статья 57. Изменение образовательных отношений

1. Образовательные отношения изменяются в случае изменения условий получения обучающимся образования по конкретной основной или дополнительной образовательной программе, повлекшего за собой изменение взаимных прав и обязанностей обучающегося и организации, осуществляющей образовательную деятельность.

2. Образовательные отношения могут быть изменены как по инициативе обучающегося (родителей (законных представителей) несовершеннолетнего обучающегося) по его заявлению в письменной форме, так и по инициативе организации, осуществляющей образовательную деятельность.

--- Здравствуйте уважаемый посетитель сайта! Нельзя перевестись в другой ВУЗ, а на месте в одном ВУЗе, можете написать заявление на имя ректора ВУЗа, с просьбой перевода Вас на заочное отделение по семейным обстоятельствам, например. Согласно п. 25 Федерального закона от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 23.07.2013) «Об образовании в Российской Федерации»: Образовательная организация действует на основании устава, утвержденного в порядке, установленном законодательством Российской Федерации.

Удачи вам и всего хорошего, с уважением юрист Лигостаева А.В.