Требование школьной библиотекарши купить новые учебники после попадания плесени - правомерно?

Правомерны. Учебники стоят на балансе организации. Специально их испортил ваш ребенок или нет, но есть статья 1064, в которой указано, что вред причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.

Так как ваш сын еще не дееспособен, то за вред, причиненный несовершеннолетним, не достигшим четырнадцати лет (малолетним), отвечают его родители (усыновители) или опекуны, если не докажут, что вред возник не по их вине. (статья 1073 ГК РФ)

Несовершеннолетние в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет самостоятельно несут ответственность за причиненный вред на общих основаниях. В случае, когда у несовершеннолетнего в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет нет доходов или иного имущества, достаточных для возмещения вреда, вред должен быть возмещен полностью или в недостающей части его родителями (усыновителями) или попечителем, если они не докажут, что вред возник не по их вине. (ст. 1074 ГК РФ)

Учебник был залит соком по вашей вине, специально это сделано или нет. Но учиться по учебнику с плесенью желания ни у кого нет, так же как и у библиотекаря нет желания покупать эти учебники за свои деньги. Организация оставит за собой право обратиться в суд, за возмещением убытков так как учебники стоят на балансе школы.