Вопросы о регистрации и проживании при разводе - права детей и возможность выписки

Очевидно, что возникшую спорную ситуацию необходимо будет разрешать в судебном порядке (если договориться с членами семьи мужа не будет представляться возможным). Если бы Ваш муж был собственником хотя бы доли квартиры, то были бы применимы нормы ЖК РФ:

ЖК РФ, Статья 31. Права и обязанности граждан, проживающих совместно с собственником в принадлежащем ему жилом помещении

4. В случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи. Если у бывшего члена семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение бывшего члена семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением, принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда. При этом суд вправе обязать собственника жилого помещения обеспечить иным жилым помещением бывшего супруга и других членов его семьи, в пользу которых собственник исполняет алиментные обязательства, по их требованию.

Однако собственником жилого помещения всецело является свекровь. С учетом того, что при этом Вы даже не прописаны (не зарегистрированы в квартире), проживать вместе с Вашим ребенком именно в этой квартире свекровь, полагаю, не разрешит. Перспективы того, что суд определит Ваше место жительства именно в квартире, принадлежащей свекрови, невелики.

В то же время выписать ребенка «в никуда» свекрови не получится, закон всецело на стороне несовершеннолетних детей. Однако, как гласит закон (п.2 ст. 20 ГК РФ:

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.

Вследствие этого может возникнуть коллизия, когда ребенок прописан вместе с отцом, а фактически ребенок, как правило, после развода проживает совместно с матерью. Полагаю, что в данном случае суд может встать на Вашу сторону, определить место жительства ребенка именно с Вами, и при этом муж должен будет нести расходы по найму жилого помещения (вне квартиры свекрови).