Можно ли уволить работника за подработку на больничном?

Нет, не могут. Закон не запрещает работать у иного работодателя, так что оснований для увольнения нет. Вот с пособием по нетрудоспособности, ввиду нарушения режима - оно будет меньше.

Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 27.12.2019) "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством"

Статья 8. Основания для снижения размера пособия по временной нетрудоспособности

1. Основаниями для снижения размера пособия по временной нетрудоспособности являются:

1) нарушение застрахованным лицом без уважительных причин в период временной нетрудоспособности режима, предписанного лечащим врачом;

2) неявка застрахованного лица без уважительных причин в назначенный срок на врачебный осмотр или на проведение медико-социальной экспертизы;

3) заболевание или травма, наступившие вследствие алкогольного, наркотического, токсического опьянения или действий, связанных с таким опьянением.

2. При наличии одного или нескольких оснований для снижения пособия по временной нетрудоспособности, указанных в части 1 настоящей статьи, пособие по временной нетрудоспособности выплачивается застрахованному лицу в размере, не превышающем за полный календарный месяц минимального размера оплаты труда, установленного федеральным законом, а в районах и местностях, в которых в установленном порядке применяются районные коэффициенты к заработной плате, - в размере, не превышающем минимальный размер оплаты труда с учетом этих коэффициентов:

1) при наличии оснований, указанных в пунктах 1 и 2 части 1 настоящей статьи, - со дня, когда было допущено нарушение;

2) при наличии оснований, указанных в пункте 3 части 1 настоящей статьи, - за весь период нетрудоспособности.