Как вытащить маму из психиатрической больницы, если врачи не разрешают ей уйти?

Вот закон и статья. Мама должна написать заявление сама. Вы также напишите, вам должны ответить в течение 30 дней, мотивированно со ссылкой на закон почему отказывают, если откажутся выписать, если не согласны, обжалуйте в прокуратуру, или в суд такой отказ.

Закон РФ от 02.07.1992 N 3185-1 (ред. от 19.07.2018) "О психиатрической помощи и гарантиях прав граждан при ее оказании"

Статья 12. Отказ от лечения

(1) Лицо, страдающее психическим расстройством, один из родителей или иной законный представитель несовершеннолетнего в возрасте до пятнадцати лет или больного наркоманией несовершеннолетнего в возрасте до шестнадцати лет, законный представитель лица, признанного в установленном законом порядке недееспособным, если такое лицо по своему состоянию не способно отказаться от лечения, имеют право отказаться от предлагаемого лечения или потребовать его прекращения в порядке, установленном законодательством в сфере охраны здоровья, за исключением случаев, предусмотренных частью четвертой статьи 11 настоящего Закона. Законный представитель лица, признанного в установленном законом порядке недееспособным, извещает орган опеки и попечительства по месту жительства подопечного об отказе от лечения или его прекращении не позднее дня, следующего за днем указанных отказа от лечения или его прекращения.

(в ред. Федеральных законов от 06.04.2011 N 67-ФЗ, от 25.11.2013 N 317-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции")

(2) Лицу, отказывающемуся от лечения, либо его законному представителю должны быть разъяснены возможные последствия такого отказа или прекращения лечения. Отказ от лечения оформляется в письменной форме, подписывается лицом, отказавшимся от лечения, одним из родителей или иным законным представителем, медицинским работником и содержится в медицинской документации.