Означает ли это, что человек должен сначала прописаться в новой квартире, и только после этого выписаться из прежней?

Согласно статье 6 Закона РФ "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации" для постоянной регистрации (по месту жительства) предъявляются: паспорт или иной документ, удостоверяющий личность гражданина; документ, являющийся основанием для вселения гражданина в жилое помещение (ордер, договор, заявление лица, предоставившего гражданину жилое помещение, или иной документ), или его надлежаще заверенная копия. Орган регистрационного учета обязан зарегистрировать гражданина по месту жительства не позднее трех дней со дня предъявления им документов на регистрацию. Согласно пункту 31 Правил регистрации и снятия граждан РФ с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах РФ, утв. Постановлением Правительства от 17 июля 1995 г. № 713, снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае изменения места жительства на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства. При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета.

Соответственно, все, что Вам нужно сделать, это подать предусмотренные указанным Законом документы в орган внутренних дел по новому месту жительства. Все остальное ОБЯЗАН сделать орган внутренних дел (то есть снять Вас с учета по прежнему месту и зарегистрировать по новому месту жительства). Можно и просто сняться с регистрационного учета, просто указав предполагаемое новое место жительства (в этом случае Вас обязаны снять с учета, выдав листок убытия, который Вам нужно сохранить до момента регистрации по новому месту жительства).

С уважением,