На что могу претендовать при разводе, если жил в квартире мужа и не имею собственности?

Если он подаст в суд о выписке будете просить предоставить вам время на проживание. Какой-то срок судья может дать.

Никаких прав на дальнейшее проживание в квартире свёкра в случае его обращения в суд с иском к вам о выселении у вас и ваших детей нет.

Читаем внимательно ч. 4 статьи 31 ЖК РФ!

ЖК РФ Статья 31. Права и обязанности граждан, проживающих совместно с собственником в принадлежащем ему жилом помещении

4. В случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи. Если у бывшего члена семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение бывшего члена семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением, принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда. При этом суд вправе обязать собственника жилого помещения обеспечить иным жилым помещением бывшего супруга и других членов его семьи, в пользу которых собственник исполняет алиментные обязательства, по их требованию.

Свёкр, в квартире которого вы проживаете не являлся вашим членом семьи и вы ему тоже никто по закону. Не питайте иллюзий насчет дальнейшего проживания в его квартире в случае его обращения в суд с иском к вам и к вашим детям. Его иск суд удовлетворит, срок для проживания в его квартире вам не даст. Поскольку нет законных оснований для этого!

Никак по сути не будут защищены, к сожалению.

В случае обращения свекра с иском о снятии с регистрации / выселении можете просить об оставлении права проживания на какое-то время. Далее на усмотрение суда...