Угроза сноса пристройки у многодетной семьи - что делать в такой ситуации?

Могут.

Но не обязательно.

В силу статей 304, 305 ГК РФ иск об устранении нарушений права, не связанных с лишением владения, подлежит удовлетворению в случае, если истец докажет, что он является собственником или лицом, владеющим имуществом по основанию, предусмотренному законом или договором, и что действиями ответчика, не связанными с лишением владения, нарушается его право собственности или законное владение.

Такой иск подлежит удовлетворению и в том случае, когда истец докажет, что имеется реальная угроза нарушения его права собственности или законного владения со стороны ответчика.

Иск об устранении нарушений права, не связанных с лишением владения, подлежит удовлетворению независимо от того, на своем или чужом земельном участке либо ином объекте недвижимости ответчик совершает действия (бездействие), нарушающие право истца.

При рассмотрении исков об устранении нарушений права, не связанных с лишением владения, путем возведения ответчиком здания, строения, сооружения суд устанавливает факт соблюдения градостроительных и строительных норм и правил при строительстве соответствующего объекта.

Несоблюдение, в том числе незначительное, градостроительных и строительных норм и правил при строительстве может являться основанием для удовлетворения заявленного иска, если при этом нарушается право собственности или законное владение истца.

Удовлетворяя иск об устранении нарушений права, не связанных с лишением владения, суд вправе как запретить ответчику совершать определенные действия, так и обязать ответчика устранить последствия нарушения права истца.