Как составить иск для продления специализированного найма квартиры, прописанной на брата, на основании договора и возможных прав членов семьи на проживание?

Для того чтобы подать в суд надо сначала получить отказ в продлении.

А у вас его пока нет.

Когда получите - можно оспорить.

Вот требования к иску.

КАС РФ Статья 125. Форма и содержание административного искового заявления

1. Административное исковое заявление подается в суд в письменной форме в разборчивом виде и подписывается с указанием даты внесения подписей административным истцом и (или) его представителем при наличии у последнего полномочий на подписание такого заявления и предъявление его в суд.

2. Если иное не установлено настоящим Кодексом, в административном исковом заявлении должны быть указаны:

1) наименование суда, в который подается административное исковое заявление;

2) наименование административного истца, если административным истцом является орган, организация или должностное лицо, адрес, для организации также сведения о ее государственной регистрации; фамилия, имя и отчество административного истца, если административным истцом является гражданин, его место жительства или место пребывания, дата и место его рождения, сведения о высшем юридическом образовании при намерении лично вести административное дело, по которому настоящим Кодексом предусмотрено обязательное участие представителя; фамилия, имя и отчество представителя, его почтовый адрес, сведения о высшем юридическом образовании, если административное исковое заявление подается представителем; номера телефонов, факсов, адреса электронной почты административного истца, его представителя;

(в ред. Федерального закона от 28.11.2018 N 451-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3) наименование административного ответчика, если административным ответчиком является орган, организация или должностное лицо, место их нахождения, для организации и индивидуального предпринимателя также сведения об их государственной регистрации (если известны); фамилия, имя, отчество административного ответчика, если административным ответчиком является гражданин, его место жительства или место пребывания, дата и место его рождения (если известны); номера телефонов, факсов, адреса электронной почты административного ответчика (если известны);

4) сведения о том, какие права, свободы и законные интересы лица, обратившегося в суд, или иных лиц, в интересах которых подано административное исковое заявление, нарушены, или о причинах, которые могут повлечь за собой их нарушение;

5) содержание требований к административному ответчику и изложение оснований и доводов, посредством которых административный истец обосновывает свои требования;

6) сведения о соблюдении досудебного порядка урегулирования спора, если данный порядок установлен федеральным законом;

6.1) сведения о предпринятых стороной (сторонами) действиях, направленных на примирение, если такие действия предпринимались;

(п. 6.1 введен Федеральным законом от 26.07.2019 N 197-ФЗ)

7) сведения о подаче жалобы в порядке подчиненности и результатах ее рассмотрения при условии, что такая жалоба подавалась;

8) иные сведения в случаях, если их указание предусмотрено положениями настоящего Кодекса, определяющими особенности производства по отдельным категориям административных дел;

9) перечень прилагаемых к административному исковому заявлению документов.

3. В административном исковом заявлении, подаваемом в защиту прав, свобод и законных интересов группы лиц, должно быть указано, в чем состоит нарушение их прав, свобод и законных интересов.

4. В административном исковом заявлении административный истец приводит доказательства, которые ему известны и которые могут быть использованы судом при установлении обстоятельств, имеющих значение для правильного рассмотрения и разрешения административного дела.

5. В административном исковом заявлении административный истец может изложить свои ходатайства.

6. Административное исковое заявление, которое подается прокурором или лицами, указанными в статье 40 настоящего Кодекса, должно соответствовать требованиям, предусмотренным пунктами 1 - 5, 8 и 9 части 2 настоящей статьи. В случае обращения прокурора в защиту прав, свобод и законных интересов гражданина в административном исковом заявлении также должны быть указаны причины, исключающие возможность предъявления административного искового заявления самим гражданином.

7. Административный истец, не обладающий государственными или иными публичными полномочиями, может направить другим лицам, участвующим в деле, копии административного искового заявления и приложенных к нему документов, которые у них отсутствуют, заказным письмом с уведомлением о вручении или иным способом, позволяющим суду убедиться в получении адресатом копий заявления и документов. Административный истец, обладающий государственными или иными публичными полномочиями, обязан направить другим лицам, участвующим в деле, копии административного искового заявления и приложенных к нему документов, которые у них отсутствуют, заказным письмом с уведомлением о вручении или обеспечить передачу указанным лицам копий этих заявления и документов иным способом, позволяющим суду убедиться в получении их адресатом.

8. Административное исковое заявление также может быть подано в суд посредством заполнения формы, размещенной на официальном сайте соответствующего суда в информационно-телекоммуникационной сети "Интернет". При этом копии административного искового заявления и приложенных к нему документов могут быть направлены лицу, участвующему в деле, обладающему государственными или иными публичными полномочиями, посредством официального сайта соответствующего органа государственной власти, иного государственного органа, органа местного самоуправления, иного органа либо организации, наделенной отдельными государственными или иными публичными полномочиями, в информационно-телекоммуникационной сети "Интернет".

(в ред. Федерального закона от 28.11.2018 N 451-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

9. Административное исковое заявление, подаваемое посредством заполнения формы, размещенной на официальном сайте суда в информационно-телекоммуникационной сети "Интернет", содержащее ходатайство о применении мер предварительной защиты по административному иску, подписывается усиленной квалифицированной электронной подписью в порядке, установленном законодательством Российской Федерации.