Нужна ли постоянная прописка для подачи заявления о банкротстве, если у сына задолженность по кредитам и нет постоянной прописки?

Если нет постоянной, то можно и по временной

Постановление Пленума Верховного Суда Российской Федерации от 13 октября 2015 г. N 45 г. Москва​

5. Дело о банкротстве гражданина, в том числе индивидуального предпринимателя, рассматривается арбитражным судом по его месту жительства (пункт 1 статьи 33 Закона о банкротстве).

Место жительства гражданина, в том числе индивидуального предпринимателя, может подтверждаться документами, удостоверяющими его регистрацию в органах регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту жительства в пределах Российской Федерации или выпиской из единого государственного реестра индивидуальных предпринимателей (пункт 1 статьи 20 ГК РФ, часть четвертая статьи 2 и часть вторая статьи 3 Закона Российской Федерации от 25 июня 1993 года N 5242-1 "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации", пункт 2 статьи 5 и статья 6 Федерального закона от 8 августа 2001 года N 129-ФЗ "О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей").

Если место жительства гражданина, в том числе индивидуального предпринимателя, неизвестно или известно, но находится за пределами Российской Федерации, дело о банкротстве такого должника рассматривается арбитражным судом по последнему известному месту жительства гражданина, в том числе индивидуального предпринимателя, в Российской Федерации согласно документам о регистрации по месту жительства в пределах Российской Федерации (по смыслу пункта 1 статьи 33, пункта 5 статьи 2137 Закона о банкротстве, части 1 статьи 36, части 4 статьи 38 АПК РФ).