Можно ли уволиться по собственному желанию в отпуске без возврата части отпускных?

Вы, безусловно можете и имеете на то полное право направить заявление на увольнение по собственному желанию.

В случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок (ст. 58 ТК РФ). В вашем случае ситуация такая же, если за один месяц работодатель не вручил вам уведомление о завершении срочного рудового договора, то такой договор считается заключённым на неопределённый срок.