Расходимся по долгам - может ли бывший муж прописать своего брата на часть доли в квартире, купленной за материнский капитал?

Регистрация брата мужа в квартире без вашего согласия невозможна, т.к. владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности, возможно только по соглашению участников долевой собственности.

Статья 247 ГК РФ. Владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности

1. Владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности, осуществляются по соглашению всех ее участников, а при недостижении согласия - в порядке, устанавливаемом судом.

Приказ МВД России от 31.12.2017 N 984 "Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации"

49. Одновременно с заявлением о регистрации по месту жительства заявитель представляет:

49.1. Паспорт.

49.2. Документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение, права на которое не зарегистрированы в Едином государственном реестре недвижимости.

49.3. Акт органа опеки и попечительства о назначении опекуна или попечителя (при установлении опеки или попечительства).

49.4. Письменное согласие о вселении гражданина в жилое помещение от проживающих совместно с нанимателем жилого помещения совершеннолетних пользователей, наймодателя, всех участников долевой собственности (при необходимости).