Спор между репетитором и родителями - может ли он записывать уроки на Скайпе, если ребенок не согласен?

Здравствуйте, Евгения!

Смотря сколько лет Вашему ребёнку. Съемка производится

1) с согласия законного представителя несовершеннолетнего, не достигшего четырнадцатилетнего возраста

2) с согласия несовершеннолетнего, достигшего четырнадцатилетнего возраста

Помимо этого стоит обратиться к ч.1 ст. 152.1 ГК РФ

Обнародование и дальнейшее использование изображения гражданина (в том числе его фотографии, а также видеозаписи или произведения изобразительного искусства, в которых он изображен) допускаются только с согласия этого гражданина. После смерти гражданина его изображение может использоваться только с согласия детей и пережившего супруга, а при их отсутствии - с согласия родителей.