Как получить копию актовой записи о рождении в ЗАГСе?

Копию Вам никто и не обязан выдавать. Выдается повторное свидетельство. Как предусмотрено Федеральным законом от 15.11.1997 N 143-ФЗ (ред. от 24.04.2020) "Об актах гражданского состояния", таковое выдается лицу, в отношении которого была составлена запись акта гражданского состояния; родственнику умершего или другому заинтересованному лицу в случае, если лицо, в отношении которого была составлена ранее запись акта гражданского состояния, умерло; родителям (лицам, их заменяющим) или представителю органа опеки и попечительства в случае, если лицо, в отношении которого была составлена запись акта о рождении, не достигло ко дню выдачи повторного свидетельства совершеннолетия (по достижении ребенком совершеннолетия его родителям (одному из родителей) по их просьбе выдается иной документ, подтверждающий факт государственной регистрации рождения ребенка); опекунам лиц, признанных недееспособными; иному лицу в случае представления нотариально удостоверенной доверенности от лица, имеющего в соответствии с настоящей статьей право на получение повторного свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния.. В случае, если Вы не относитесь ни к одной из категории вышеназванных лиц, отказ будет правомерным. В любом случае, действия Вы всегда вправе обжаловать как в порядке подчиненности, так и в судебном порядке.