Можно ли получить пособие по временной нетрудоспособности, проживая в гражданском браке, если гражданский муж пойдет на больничный с ребенком?

Не может.

Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 08.06.2020) "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством" (с изм. и доп., вступ. В силу с 19.06.2020)

Статья 5. Случаи обеспечения пособием по временной нетрудоспособности

1. Обеспечение застрахованных лиц пособием по временной нетрудоспособности осуществляется в случаях:

1) утраты трудоспособности вследствие заболевания или травмы, в том числе в связи с операцией по искусственному прерыванию беременности или осуществлением экстракорпорального оплодотворения (далее - заболевание или травма);

2) необходимости осуществления ухода за больным членом семьи;

3) карантина застрахованного лица, а также карантина ребенка в возрасте до 7 лет, посещающего дошкольную образовательную организацию, или другого члена семьи, признанного в установленном порядке недееспособным;

4) осуществления протезирования по медицинским показаниям в стационарном специализированном учреждении;

5) долечивания в установленном порядке в санаторно-курортных организациях, расположенных на территории Российской Федерации, непосредственно после оказания медицинской помощи в стационарных условиях.