Как штраф за вождение без прав может повлиять на получение водительского удостоверения?

Не повлияет.

Приказ МВД России от 20.10.2015 N 995 (ред. от 06.09.2017, с изм. от 25.10.2018) "Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по проведению экзаменов на право...

27. Основаниями для отказа в предоставлении государственной услуги являются:

27.1. Обращение заявителя, не достигшего установленного статьей 26 Федерального закона от 10 декабря 1995 г. N 196-ФЗ "О безопасности дорожного движения" возраста либо не имеющего медицинского заключения об отсутствии противопоказаний к управлению транспортными средствами либо не прошедшего в установленном порядке соответствующего профессионального обучения.

27.2. Обращение по вопросам выдачи водительского удостоверения, обмена иностранного водительского удостоверения заявителя, не достигшего установленного статьей 26 Федерального закона от 10 декабря 1995 г. N 196-ФЗ "О безопасности дорожного движения" возраста либо не имеющего медицинского заключения об отсутствии противопоказаний к управлению транспортными средствами либо не сдавшего в установленных случаях соответствующие экзамены, предусмотренные пунктом 9 Правил.

27.3. Наличие сведений о лишении заявителя права управления транспортными средствами.

27.4. Представление документов, не соответствующих требованиям законодательства Российской Федерации, а также содержащих недостоверную информацию.

27.5. Представление документов, имеющих признаки подделки, а также находящихся в числе утраченных (похищенных).