Тем самым я должен заплатить штраф в размере 700 руб. Не пойму связи вообще для чего тогда выдается страховка именно на машину

Это не брд. Первое, что Вы должны были сделать, получив доверенность, это застраховать машину на свое имя. Или собственнику необходимо было включить в свою страховку Вас. Или изначально получать страховку на неограниченный круг лиц.

Статья 12.37. Несоблюдение требований об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств

1. Управление транспортным средством в период его использования, не предусмотренный страховым полисом обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортного средства, а равно управление транспортным средством с нарушением предусмотренного данным страховым полисом условия управления этим транспортным средством только указанными в данном страховом полисе водителями

влечет наложение административного штрафа в размере трех минимальных размеров оплаты труда.

2. Неисполнение владельцем транспортного средства установленной федеральным законом обязанности по страхованию своей гражданской ответственности, а равно управление транспортным средством, если такое обязательное страхование заведомо отсутствует, -

влечет наложение административного штрафа в размере от пяти до восьми минимальных размеров оплаты труда.