Имею ли я какое либо право на эту квартиру в качестве наследства и если да, то как поступить в данной ситуации?

Здравствуйте!

1. Исходим из того, что ваша бабушка была единственным собственником квартиры (иначе, речь пойдёт о наследовании части жилья, а там ситуация с получением наследства будет иная), и что завещания никакого нет.

2. У вашей бабушки есть, как минимум, сын и два внука (вернее, внук и внучка). Наследниками первой очереди являются - в вашей ситуации - и сын бабушки, и вы (по праву представления). Если ваш двоюродный братец - сын "сына бабушки", т.е. указанные два человека - это отец и сын, то он не является наследником первой очереди. Если же, брат является ребёнком других братьев-сестёр "сына бабушки", то он, также, будет третьим наследником. Судя по всему, заявлений нотариусу о принятии наследства в 6-месячный срок никто из наследников не подал.

3. Возможно в судебном порядке попытаться восстановить срок, установленный для принятия наследства (ст. 1155 ГК РФ) если наследник не знал об открытии наследства или пропустил этот срок по уважительным причинам.

Возможно попытаться принять наследство другими способами, свидетельствующими о фактическом принятии наследства (ст. 1153 ГК РФ): вступление во владение наследством, принятие мер по сохранению имущества, несение расходов на содержание имущества и т.д.

Факт принятия наследства "неформальными" способами необходимо будет доказать для получения нотариального свидетельства о праве на наследство путём предоставления соответствующих документов нотариусу, либо в суде в порядке особого производства.

Итого: вы имеете права наследника первой очереди, но пропустившего 6-месячный срок для подачи заявления нотариусу. Можно попытаться восстановить срок, либо принять наследство "неформальными" способами в зависимости от конкретной вашей ситуации.