Может ли муж взять больничный на уход за чужими детьми, если они в официальном браке, и будет ли он одобрен на работе?

Если он указан в свидетельстве о рождении отцом и если дети заболели, то безусловно, он может получить отпуск по временной нетрудоспособности.

Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 08.06.2020) "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством" (с изм. и доп., вступ. В силу с 19.06.2020)

Статья 5. Случаи обеспечения пособием по временной нетрудоспособности

1. Обеспечение застрахованных лиц пособием по временной нетрудоспособности осуществляется в случаях:

2) необходимости осуществления ухода за больным членом семьи;

Семейное законодательство устанавливает порядок осуществления и защиты семейных прав, условия и порядок вступления в брак, прекращения брака и признания его недействительным, регулирует личные неимущественные и имущественные отношения между членами семьи: супругами, родителями и детьми (усыновителями и усыновленными), а в случаях и в пределах, предусмотренных семейным законодательством, между другими родственниками и иными лицами, определяет порядок выявления детей, оставшихся без попечения родителей, формы и порядок их устройства в семью, а также их временного устройства, в том числе в организацию для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей (ст. 2 СК РФ).