Может ли гражданин Армении, проживающий в России и закончивший российскую школу, служить в Российской Армии?

Это не является препятствием.

Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 15.10.2020) "О воинской обязанности и военной службе"

Статья 33. Требования, предъявляемые к гражданам (иностранным гражданам), поступающим на военную службу по контракту

1. Гражданин (иностранный гражданин), поступающий на военную службу по контракту, должен владеть государственным языком Российской Федерации, а также соответствовать медицинским и профессионально-психологическим требованиям военной службы к конкретным военно-учетным специальностям. Для определения соответствия гражданина установленным требованиям проводятся медицинское освидетельствование и мероприятия по профессиональному психологическому отбору.

4. Гражданин (иностранный гражданин), поступающий на военную службу по контракту, кроме требований, указанных в пункте 1 настоящей статьи, также должен соответствовать требованиям по уровню:

образования;

квалификации;

физической подготовки.

Статья 34. Заключение контракта о прохождении военной службы

1. Контракт о прохождении военной службы также вправе заключать иностранные граждане, законно находящиеся на территории Российской Федерации. Указанные иностранные граждане могут воспользоваться своим правом на заключение контракта о прохождении военной службы только один раз.

2. Первый контракт о прохождении военной службы вправе заключать:

иностранные граждане в возрасте от 18 до 30 лет.

Можете служить, но я не думаю, что это лучшее место для вас с вашим хорошим здоровьем и знанием русского языка в совершенстве.