ИП по алиментам - новое ИП и возможное ограничение прав после лишения

Нет, не может.

Однако пристав может ограничить данное право при наличии задолженности по алиментам. Федеральный закон от 02.10.2007 N 229-ФЗ (ред. от 28.12.2016) «Об исполнительном производстве»

Статья 67.1. Временные ограничения на пользование должником специальным правом

2. При неисполнении должником-гражданином или должником, являющимся индивидуальным предпринимателем, в установленный для добровольного исполнения срок без уважительных причин содержащихся в исполнительном документе требований о взыскании алиментов, возмещении вреда, причиненного здоровью, возмещении вреда в связи со смертью кормильца, имущественного ущерба и (или) морального вреда, причиненных преступлением, требований неимущественного характера, связанных с воспитанием детей, а также требований о взыскании административного штрафа, назначенного за нарушение порядка пользования специальным правом, судебный пристав-исполнитель вправе по заявлению взыскателя или собственной инициативе вынести постановление о временном ограничении на пользование должником специальным правом. При неисполнении требований исполнительного документа о взыскании административного штрафа, назначенного за нарушение порядка пользования специальным правом, должник может быть ограничен в пользовании только этим специальным правом.

3. Если исполнительный документ, содержащий указанные в части 2 настоящей статьи требования, не является судебным актом или выдан не на основании судебного акта, то судебный пристав-исполнитель или взыскатель вправе обратиться в суд с заявлением об установлении временного ограничения на пользование должником специальным правом.