Каков срок для подачи протеста после выписки из квартиры, признанной бывшим членом семьи собственника?

Номинальный срок - 1 месяц со дня вынесения полного решения. В Вашем же случае, с учетом изложенного - чем быстрее, тем лучше. Вам придется, кроме обжалования решения по существу, также просить суд о восстановлении срока на подачу апелляционной жалобы, с указанием уважительных причин такого пропуска и доказательств уважительности таковых причин.