Можно ли отправлять персональные данные простым письмом, через почту России?

Можно. Законом направление персональных данных в запечатанном конверте не запрещено (Федеральный закон от 27 июля 2006 г. N 152-ФЗ "О персональных данных"). По поводу вскрытия письма см. ст.138 УК РФ, т.е. это уголовное преступление:

Статья 138. Нарушение тайны переписки, телефонных переговоров, почтовых, телеграфных или иных сообщений

1. Нарушение тайны переписки, телефонных переговоров, почтовых, телеграфных или иных сообщений граждан -

наказывается штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до трехсот шестидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года.

2. То же деяние, совершенное лицом с использованием своего служебного положения, -

наказывается штрафом в размере от ста тысяч до трехсот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период от одного года до двух лет, либо лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок от двух до пяти лет, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо принудительными работами на срок до четырех лет, либо арестом на срок до четырех месяцев, либо лишением свободы на срок до четырех лет.

3. Утратила силу.