Нужно ли нам каким-то специальным образом оформить квартиру или можно оставить все как есть на данный момент?

Нет, можете не оформлять. По тексту - даже уплаты госпошлины на наследство сможете избежать.

НК РФ.

"Статья 333.24. Размеры государственной пошлины за совершение нотариальных действий

1. За совершение нотариальных действий нотариусами государственных нотариальных контор и (или) должностными лицами органов исполнительной власти, органов местного самоуправления, уполномоченными в соответствии с законодательными актами Российской Федерации и (или) законодательными актами субъектов Российской Федерации на совершение нотариальных действий, государственная пошлина уплачивается в следующих размерах:

22) за выдачу свидетельства о праве на наследство по закону и по завещанию:

детям, в том числе усыновленным супругу, родителям, полнородным братьям и сестрам наследодателя - 0,3 процента стоимости наследуемого имущества, но не более 100 000 рублей;

другим наследникам - 0,6 процента стоимости наследуемого имущества, но не более 1 000 000 рублей;

Статья 333.38. Льготы при обращении за совершением нотариальных действий

От уплаты государственной пошлины за совершение нотариальных действий освобождаются:

5) физические лица - за выдачу свидетельств о праве на наследство при наследовании:

жилого дома, а также земельного участка на котором расположен жилой дом, квартиры комнаты или долей в указанном недвижимом имуществе, если эти лица проживали совместно с наследодателем на день смерти наследодателя и продолжают проживать в этом доме (этой квартире, комнате) после его смерти;"