Травма произошла в 2016 году. В суд не подовали. Могу я в ближайшее время подать на компенсацию?

Смело можете предъявить, ведь согласно статье 208 ГК РФ,

ГК РФ Статья 208. Требования, на которые исковая давность не распространяется

Исковая давность не распространяется на:

требования о защите личных неимущественных прав и других нематериальных благ, кроме случаев, предусмотренных законом;

требования вкладчиков к банку о выдаче вкладов;

требования о возмещении вреда, причиненного жизни или здоровью гражданина. Однако требования, предъявленные по истечении трех лет с момента возникновения права на возмещение такого вреда, удовлетворяются за прошлое время не более чем за три года, предшествовавшие предъявлению иска, за исключением случаев, предусмотренных Федеральным законом от 6 марта 2006 года N 35-ФЗ "О противодействии терроризму";

(в ред. Федерального закона от 02.11.2013 N 302-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

требования собственника или иного владельца об устранении всяких нарушений его права, хотя бы эти нарушения не были соединены с лишением владения (статья 304);

другие требования в случаях, установленных законом.

Таким образом, поскольку истцами требования о компенсации морального вреда заявляются в связи с повреждением здоровья вследствие несчастного случая на производстве, то к возникшим правоотношениям должны применять положения ч.4 ст. 208 ГК РФ.