Могу ли я отбывать наказание назначеное судом по месту моего рождения, при этом не имея постоянной регистрации места жительства?

Сложно и не факт, что ФСИН пойдёт навстречу.

На всякий случай, выдержки из статьи 73 УИК РФ:

Осужденные к лишению свободы, кроме указанных в части четвертой настоящей статьи, отбывают наказание в исправительных учреждениях в пределах территории субъекта Российской Федерации, в котором они проживали или были осуждены. В исключительных случаях по состоянию здоровья осужденных или для обеспечения их личной безопасности либо с их письменного согласия осужденные могут быть направлены для отбывания наказания в соответствующее исправительное учреждение, расположенное на территории другого субъекта Российской Федерации. В случаях, указанных в части второй.1 настоящей статьи, осужденный отбывает наказание в исправительном учреждении, расположенном на территории субъекта Российской Федерации, в котором проживает один из его близких родственников, либо на территории другого субъекта Российской Федерации, наиболее близко расположенного к месту жительства данного близкого родственника.

2.1. По письменному заявлению осужденного к лишению свободы либо с его согласия по письменному заявлению одного из его близких родственников по решению федерального органа уголовно-исполнительной системы при наличии возможности размещения осужденного он может быть направлен в исправительное учреждение, расположенное на территории субъекта Российской Федерации, в котором проживает один из его близких родственников, либо при невозможности размещения осужденного в исправительном учреждении, расположенном на территории указанного субъекта Российской Федерации, в исправительное учреждение, расположенное на территории другого субъекта Российской Федерации, наиболее близко расположенного к месту жительства данного близкого родственника, в котором имеются условия для размещения осужденного.