Какие права имеют органы опеки перед назначением кандидата в опекуны над недееспособным членом семьи?

Да, органы опеки будут вас проверять на соответствие требованиям к опекунам.

Статья 11. Назначение опекунов и попечителей

1. Опека и попечительство устанавливаются в случаях, предусмотренных Гражданским кодексом Российской Федерации, а в отношении несовершеннолетних граждан также в случаях, установленных Семейным кодексом Российской Федерации.

2. Опекун или попечитель назначается с их согласия или по их заявлению в письменной форме органом опеки и попечительства по месту жительства лица, нуждающегося в установлении над ним опеки или попечительства, в течение месяца с момента, когда указанному органу стало известно о необходимости установления опеки или попечительства над таким лицом. При наличии заслуживающих внимания обстоятельств опекун или попечитель может быть назначен органом опеки и попечительства по месту жительства опекуна или попечителя.

Для этого они проверяют кандидатов

Статья 10. Порядок определения лиц, имеющих право быть опекунами или попечителями

1. Требования, предъявляемые к личности опекуна или попечителя, устанавливаются Гражданским кодексом Российской Федерации, а при установлении опеки или попечительства в отношении несовершеннолетних граждан также Семейным кодексом Российской Федерации.

2. В целях получения сведений о личности предполагаемого опекуна или попечителя орган опеки и попечительства вправе требовать от гражданина, подавшего заявление о назначении его опекуном или попечителем, предоставления сведений о себе, а также запрашивать информацию о нем в органах внутренних дел, органах записи актов гражданского состояния, медицинских и иных организациях. Орган опеки и попечительства вправе требовать предоставления только той информации о гражданине, которая позволит установить его способность исполнять обязанности опекуна или попечителя. Перечень документов, предоставляемых гражданином, подавшим заявление о назначении его опекуном или попечителем, сроки предоставления таких документов определяются Правительством Российской Федерации.

2.1. Документы и информация, находящиеся в распоряжении органов, предоставляющих государственные услуги, иных государственных органов, органов местного самоуправления либо подведомственных государственным органам или органам местного самоуправления организаций, запрашиваются органами опеки и попечительства в указанных органах и организациях, если такие документы и информация не были представлены самостоятельно гражданином, подавшим заявление о назначении его опекуном или попечителем.

Но не думаю, что они будут проверять такой вопрос, как обращалась ли вы в медучреждения за мед. помощью для своей матери.