Можно ли использовать символику государства (герб) или региона (герб) на визитке руководителя некоммерческой организации?

Возможно использоваить изоражение флага и герба РФ, но есть небольшие ограничения. При их не соблюдение может наступить административная ответственность.

Федеральный конституционный закон от 25.12.2000 N 1-ФКЗ (ред. от 12.03.2014) "О Государственном флаге Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. В силу с 01.09.2014)

Статья 9.1. Официальное использование Государственного флага Российской Федерации осуществляется в случаях и в порядке, которые установлены настоящим Федеральным конституционным законом.

Допускается использование Государственного флага Российской Федерации, в том числе его изображения, гражданами, общественными объединениями, предприятиями, учреждениями и организациями в иных случаях, если такое использование не является надругательством над Государственным флагом Российской Федерации.

Федеральный конституционный закон от 25.12.2000 N 2-ФКЗ (ред. от 20.12.2017) "О Государственном гербе Российской Федерации"

Статья 2. Воспроизведение Государственного герба Российской Федерации допускается без геральдического щита (в виде главной фигуры - двуглавого орла с атрибутами, перечисленными в статье 1 настоящего Федерального конституционного закона), а также в одноцветном варианте.

"Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях" от 30.12.2001 N 195-ФЗ

КоАП РФ Статья 17.10. Нарушение порядка официального использования государственных символов Российской Федерации

Нарушение порядка официального использования Государственного флага Российской Федерации, Государственного герба Российской Федерации или Государственного гимна Российской Федерации -

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от двух тысяч до трех тысяч рублей; на должностных лиц - от пяти тысяч до семи тысяч рублей; на юридических лиц - от ста тысяч до ста пятидесяти тысяч рублей.