Как подать заявление на аннулирование записи об отцовстве, если нет справки о доходах и отец находится в другом регионе?

А с чего Вы вообще взяли, что такой иск будет удовлетворен по таким основаниям? Вам откажут в его удовлетворении.

У Вас есть основания для обращения с совершенно другим иском - о лишении родительских прав. Но надо иметь в виду вот что.

Дело о лишении родительских прав является одним из наиболее сложных процессов.

Лишение родительских прав является крайней мерой и поэтому не всегда суды принимают соответствующие решения даже при наличии оснований.

Согласно

ст.ст. 69-71 СК РФ, родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

Уклонение родителей от выполнения своих обязанностей по воспитанию детей может выражаться в отсутствии заботы об их здоровье, о физическом, психическом, духовном и нравственном развитии, обучении.

Отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иного лечебного учреждения, воспитательного учреждения, учреждения социальной защиты населения или из аналогичных организаций;

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей либо против жизни или здоровья супруга.

Лишение родительских прав производится в судебном порядке.

Лишение родительских прав является крайней мерой ответственности родителей, которая применяется судом только за виновное поведение родителей по основаниям, указанным в статье 69 CK РФ, перечень которых является исчерпывающим.

Лишение родительских прав допускается в случае, когда защитить права и интересы детей иным образом не представляется возможным.

Исходя из положений статьи 69 CK РФ не могут быть лишены родительских прав лица, не выполняющие свои родительские обязанности вследствие стечения тяжелых обстоятельств и по другим причинам, от них не зависящим. В указанных случаях суд может вынести решение об ограничении родительских прав, если оставление ребенка у родителей опасно для него (пункт 2 статьи 73 CK РФ).

Поскольку лишение родительских прав является крайней мерой ответственности родителей, в исключительных случаях при доказанности виновного поведения родителя суд с учетом характера его поведения, личности и других конкретных обстоятельств, а также с учетом интересов ребенка может отказать в удовлетворении иска о лишении родительских прав и предупредить ответчика о необходимости изменения своего отношения к воспитанию детей.

(п.п. 16-18 Постановление Пленума Верховного Суда Российской Федерации от 14 ноября 2017 г. N 44 г. Москва "О практике применения судами законодательства при разрешении споров, связанных с защитой прав и законных интересов ребенка при непосредственной угрозе его жизни или здоровью, а также при ограничении или лишении родительских прав")

Вам надо составить исковое заявление, подать его в суд по подсудности, определиться с доказательствами того, на что Вы ссылаетесь в иске и в дальнейшем ходить на судебные заседания.

Лучше всего это сделать с помощью юриста, который представит Ваши интересы, вероятность успешного разрешения вопроса будет в таком случае большей. Можете обратиться к одному из ответивших Вам юристов. Расходы на юриста можно будет (в случае успеха по делу) взыскать в порядке ст.ст. 98, 100 ГПК РФ с другой стороны по делу.