Как доказать долг микрокоедитной организации через суд, если был подписан только договор на обработку персональных данных?

Да, может. С доказательной базой - это уже в суде, когда будет иск (заявление на Приказ). Вы сможете ознакомиться с материалами и поймёте, что у них есть. С договором оферты сложнее. По ГК МФО должна в любом случае в Вами заключить письменный договор.