Проблемы с жильем - Деньги за квартиру не отдают, а прописанных не выпускают

Дети имеют право проживать в квартире, если они в ней зарегистрированы, а вы - нет (если не имеете регистрации в ней и не являетесь её собственником). Выселять кого-либо из чужой квартиры вы никакого права не имеете и распоряжаться ей иным образом тоже, в т.ч. менять замки и т.п. То, что нотариус отказал в выдаче свидетельства о праве на наследство, не означает, что у гражданского мужа нет права на эту квартиру. Это может значить то, что у него не хватает документов для выдачи свидетельства или ещё какие-то проблемы с оформлением.

Так как Вы не собственник нет не можете, дети могут по праву прописки, а Вы нет.

Квартира тоже не принадлежит Вашему сожителю, кому принадлежит квартира?

Если квартира в результате того, что так некто не вступил в права наследства не была оформлена не на кого, вероятнее всего квартира теперь в муниципальной собственности. Если это так тогда можно приватизировать:

Под приватизацией жилья понимается бесплатная передача в собственность граждан Российской Федерации занимаемых ими жилых помещений в государственном и муниципальном жилищном фонде.

А разве я не имею права проживать с детьми как законный представитель (мать не совершенно летних детей) на территории где они прописаны? Он имеет право нас выселить и выписать детей из квартиры без оснований?