Мама ушла в дом престарелых без уведомления - имеет ли право учреждение заходить молчанием?

Нет у дома престарелых обязанности розыскивать и сообщать родственикам.

Право на получение социальных услуг в доме-интернате для престарелых и инвалидов имеют граждане пожилого возраста (мужчины старше 60 лет и женщины старше 55 лет) и инвалиды I и II групп (старше 18 лет), частично или полностью утратившие способность к самообслуживанию, нуждающиеся в постоянном постороннем уходе и не имеющие противопоказаний к приему на социальное обслуживание в дом-интернат.

Право на получение социальных услуг в специальном доме-интернате для престарелых и инвалидов имеют граждане пожилого возраста (мужчины старше 60 лет и женщины старше 55 лет) и инвалиды (старше 18 лет), частично или полностью утратившие способность к самообслуживанию, нуждающиеся в постоянном постороннем уходе, из числа освобождаемых из мест лишения свободы, особо опасных рецидивистов и других лиц, за которыми в соответствии с действующим законодательством установлен административный надзор, а также граждане пожилого возраста и инвалиды, ранее судимые или неоднократно привлекавшиеся к административной ответственности за нарушение общественного порядка, занимающиеся бродяжничеством и попрошайничеством, направляемые из учреждений органов внутренних дел по решению суда либо по их желанию в случае постоянного нарушения порядка проживания в стационарных учреждениях общего типа и не имеющие противопоказаний к приему на социальное обслуживание в специальный дом-интернат.

Социальные услуги в стационарном учреждении оказываются на основании заявления гражданина (или его представителя), органа государственной власти, органа местного самоуправления, общественного объединения, поданного в управление министерства социального развития, опеки и попечительства либо комплексный центр социального обслуживания населения по месту жительства или месту пребывания гражданина.

Так что она и сама могла туда прийти.

И обязанности кого-то разыскивать и сообщать ни у одного должностного лица нет.