Можно ли оспорить увольнение по соглашению сторон при отсутствии подписанного соглашения сторон?

Да, это основание для оспаривания увольнения.

Надо обратиться с иском в суд в месячный срок со дня получения на руки приказа об увольнении или трудовой книжки. (ст 392 ТК РФ)

Приказ об увольнении можно получить, но обязательно указать там дату получения.

При этом ни в коем случае нельзя подписывать, например, заявление об увольнении (соглашение сторон) и другие такого рода документы ни задним числом ни каким-то еще, потому что этим подписанием Вы свое увольнение "узаконите".

В суде можно оспорить как само по себе увольнение, так и потребовать зарплату до момента увольнения, а кроме того, компенсации за незаконное увольнение, равную Вашей зарплате за весь период, пока рассматривается дело судом, а также моральный вред.

Это все предполагает необходимость грамотного обращения в суд: составления иска в соответствии с нормами ст.ст. 131-132 ГПК РФ, по нужным в Вашей ситуации правовым основаниям, доказывания своей позиции (ст.ст. 55-57 ГПК РФ) и т.д.

Обратитесь к одному из ответивших Вам юристов за грамотным ведением дела в суде. Обычно, кто отвечает на вопросы, тот и работает по тем же делам. Расходы на юриста можно будет (в случае успеха по делу) взыскать в порядке ст.ст. 98, 100 ГПК РФ с работодателя.

Что же касается других органов (трудовая инспекция, прокуратура), туда тоже можно обратиться, но параллельно (одновременно) с обращением в суд.

Обращение в другие органы не параллельно, а последовательно с обращением в суд (т.е. сначала в другие, потом ожидание ответа от них, потом в суд) на практике почти всегда приводит к пропуску срока обращения в суд, 1 мес., так как те органы "отписываются" по сроку больше месяца (с учетом того что ответ идет почтой).

Таким образом, при неправильной последовательности действий Вы потеряете возможность отстоять свои права в суде.