Можно ли продлить больничный в другом регионе?

Нет, нельзя.

5. Выдача и продление листка нетрудоспособности осуществляется медицинским работником после осмотра гражданина и записи данных о состоянии его здоровья в медицинской карте амбулаторного (стационарного) больного, обосновывающей необходимость временного освобождения от работы.

Бланки листков нетрудоспособности регистрируются в первичной медицинской документации с указанием их номера, дат выдачи и продления, выписки гражданина на работу, сведений о направлении гражданина в другую медицинскую организацию.

6. Листок нетрудоспособности выдается гражданину медицинской организацией по его желанию в день обращения либо в день закрытия листка нетрудоспособности.

Листок нетрудоспособности, оформленный медицинской организацией для назначения и выплаты пособия по временной нетрудоспособности, по беременности и родам, выдается, как правило, гражданину медицинской организацией в день его закрытия.

Листок нетрудоспособности выдается медицинской организацией в день обращения, если гражданин направляется (обращается) на лечение в другую медицинскую организацию. Продление и (или) закрытие листка нетрудоспособности осуществляется медицинской организацией, в которую гражданин был направлен (обратился) на лечение.

Приказ Минздравсоцразвития России от 29.06.2011 N 624 н (ред. от 02.07.2014) «Об утверждении Порядка выдачи листков нетрудоспособности» {КонсультантПлюс}