Как сохранить льготы на коммунальные услуги при переезде из села в город и обратно?

Зависит от Вашего региона. В рамках федерального законодательства - надо жить и работать на селе.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 29.12.2022) "Об образовании в Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. В силу с 01.01.2023)

Статья 47. Правовой статус педагогических работников. Права и свободы педагогических работников, гарантии их реализации

8. Педагогические работники, проживающие и работающие в сельских населенных пунктах, рабочих поселках (поселках городского типа), имеют право на предоставление компенсации расходов на оплату жилых помещений, отопления и освещения. Размер, условия и порядок возмещения расходов, связанных с предоставлением указанных мер социальной поддержки педагогическим работникам федеральных государственных образовательных организаций, устанавливаются Правительством Российской Федерации и обеспечиваются за счет бюджетных ассигнований федерального бюджета, а педагогическим работникам образовательных организаций субъектов Российской Федерации, муниципальных образовательных организаций устанавливаются законодательством субъектов Российской Федерации и обеспечиваются за счет бюджетных ассигнований бюджетов субъектов Российской Федерации.