Как добиться письменного отказа от сотрудника миграционной службы в оказании госуслуги и продлить регистрацию иностранного гражданина?

Здравствуйте, Александр! Просто зафиксируйте факт отказа на видео. Согласно ч.4 ст.29 Конституции РФ имеете на это право. Далее Вы вправе обжаловать незаконные действия либо бездействие должностного лица вышестоящему должностному лицу либо в районный суд в порядке, предусмотренном статьями 218-219 Кодекса административного судопроизводства РФ. Также можно подать жалобу в прокуратуру в соответствии со ст.10 Федерального закона от 17 января 1992 г. N 2202-I "О прокуратуре Российской Федерации":

1. В органах прокуратуры в соответствии с их полномочиями разрешаются заявления, жалобы и иные обращения, содержащие сведения о нарушении законов. Решение, принятое прокурором, не препятствует обращению лица за защитой своих прав в суд. Решение по жалобе на приговор, решение, определение и постановление суда может быть обжаловано только вышестоящему прокурору.

2. Поступающие в органы прокуратуры заявления и жалобы, иные обращения рассматриваются в порядке и сроки, которые установлены федеральным законодательством.

3. Ответ на заявление, жалобу и иное обращение должен быть мотивированным. Если в удовлетворении заявления или жалобы отказано, заявителю должны быть разъяснены порядок обжалования принятого решения, а также право обращения в суд, если таковое предусмотрено законом.

4. Прокурор в установленном законом порядке принимает меры по привлечению к ответственности лиц, совершивших правонарушения.

5. Запрещается пересылка жалобы в орган или должностному лицу, решения либо действия которых обжалуются.

Должны дать ответ в порядке, предусмотренном Федеральным законом от 2 мая 2006 г. N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации" 30-дневный срок (ст.12 Закона).