Пропавший пес - обязана ли соседка заплатить стоимость его замены?

Это договор хранения. Собака - имущество (вещь).

ГК РФ:

Статья 891. Обязанность хранителя обеспечить сохранность вещи

1. Хранитель обязан принять все предусмотренные договором хранения меры для того, чтобы обеспечить сохранность переданной на хранение вещи.

При отсутствии в договоре условий о таких мерах или неполноте этих условий хранитель должен принять для сохранения вещи также меры, соответствующие обычаям делового оборота и существу обязательства, в том числе свойствам переданной на хранение вещи, если только необходимость принятия этих мер не исключена договором.

2. Хранитель во всяком случае должен принять для сохранения переданной ему вещи меры, обязательность которых предусмотрена законом, иными правовыми актами или в установленном ими порядке (противопожарные, санитарные, охранные и т.п.).

Статья 901. Основания ответственности хранителя

1. Хранитель отвечает за утрату, недостачу или повреждение вещей, принятых на хранение, по основаниям, предусмотренным статьей 401 настоящего Кодекса.

Профессиональный хранитель отвечает за утрату, недостачу или повреждение вещей, если не докажет, что утрата, недостача или повреждение произошли вследствие непреодолимой силы, либо из-за свойств вещи, о которых хранитель, принимая ее на хранение, не знал и не должен был знать, либо в результате умысла или грубой неосторожности поклажедателя.

2. За утрату, недостачу или повреждение принятых на хранение вещей после того, как наступила обязанность поклажедателя взять эти вещи обратно (пункт 1 статьи 899), хранитель отвечает лишь при наличии с его стороны умысла или грубой неосторожности.

3. Если хранение осуществляется безвозмездно, хранитель обязан заботиться о принятой на хранение вещи не менее, чем о своих вещах.

И еще одну придется:

Статья 902. Размер ответственности хранителя

1. Убытки, причиненные поклажедателю утратой, недостачей или повреждением вещей, возмещаются хранителем в соответствии со статьей 393 настоящего Кодекса, если законом или договором хранения не предусмотрено иное.

2. При безвозмездном хранении убытки, причиненные поклажедателю утратой, недостачей или повреждением вещей, возмещаются:

1) за утрату и недостачу вещей - в размере стоимости утраченных или недостающих вещей;

2) за повреждение вещей - в размере суммы, на которую понизилась их стоимость.

3. В случае, когда в результате повреждения, за которое хранитель отвечает, качество вещи изменилось настолько, что она не может быть использована по первоначальному назначению, поклажедатель вправе от нее отказаться и потребовать от хранителя возмещения стоимости этой вещи, а также других убытков, если иное не предусмотрено законом или договором хранения.

Вот теперь разберетесь.