Работаю администратором в солярии.

Возможно. Вот только оно не будет законным. Особенно, если Вы написали в объяснении, что чек пробить собирались, но не успели вследствие поспешности клиента. В любом случае, обжаловать законность увольнения Вы вправе в суде в течение 1 месяца со дня увольнения. Рассчитывать на помощь трудовой инспекции или прокуратуры в данном вопросе не советую. Равно как и поддаваться на давление руководства и писать заявление по собственному желанию (потом ничего не докажете).