Проблемы с наследованием - что произойдет с долей матери после смерти отца?

Не определится.

Никакая доля матери в Вашем случае значения не имеет. Вы наследник первой очереди на основании ст.1142 ГК РФ, при чем тут государство, кто Вам эту глупость внушил, извините?

Исходя из вашего описания нотариус не прав.

Все, что приобретено во время брака является совместной собственностью супругов и в этом имуществе изначально "зашита" доля вашей матери, так называемая супружеская доля.

При оформлении наследства, нотариус должен выделить супружескую долю вашего отца, 1/2.

а другая 1/2, которая принадлежала вашей матери, переходит в наследство к наследникам первой очереди (родители, дети) и делится между ними в равных долях.

Лучше сейчас все вопросы урегулировать, чем потом что-то доказывать, сложнее будет

Что указано в выписке из ЕГРН на дом? Кто собственник (правообладатель)?

Нотариус был неправ, что дом принадлежит одному собственнику...

Вступать в наследство доли дома имеют право дети в данном случае.

Придется в дальнейшем устанавливать право в судебном порядке.

Здравствуйте, отец фактически принял наследство (ст.1153 ГК РФ), так как проживал совместно, а нотариус просто сэкономила деньги для Вашего отца, не став выделять супружескую долю, да и Вы не обращались за принятием наследства.

Поэтому переживать не стоит, государству ничего не отойдет.

Если Вы отказались от наследства, выделять долю матери нет смысла.

Отец предложил вполне разумное решение

Здравствуйте, если приобрели во время брака (ст.34 Семейного кодекса РФ), то супружескую долю нужно выделить. Отцу получить свидетельство о праве собственности как супругу, остальная доля-наследство. Автоматически никому ничего не переходит, необходимо оформить свои наследственные права.