Как работать в такси с азербайджанскими правами и видом на жительство в России и как получить российские права?

Смотря какое в/у у Вас, т.к. национального в/у может не хватить, а патента недостаточно. Согласно пунктам 12 и 13 статьи 25 Федерального закона от 10 декабря 1995 г. N 196-ФЗ "О безопасности дорожного движения" (далее: Закона)

12. Лица, постоянно или временно проживающие либо временно пребывающие на территории Российской Федерации, допускаются к управлению транспортными средствами на основании российских национальных водительских удостоверений, а при отсутствии таковых - на основании иностранных национальных или международных водительских удостоверений при соблюдении ограничений, указанных в пункте 13 настоящей статьи.

13. Не допускается управление транспортными средствами на основании иностранных национальных или международных водительских удостоверений при осуществлении предпринимательской и трудовой деятельности, непосредственно связанной с управлением транспортными средствами.

Положение настоящего пункта не распространяется на граждан Киргизской Республики, а также граждан государств, законодательство которых закрепляет использование русского языка в качестве официального, осуществляющих предпринимательскую и трудовую деятельность на территории Российской Федерации, непосредственно связанную с управлением транспортными средствами.

Если нет российского в/у, то управлять для целей такси нельзя.

Но может сдать экзамен согласно требованиям Правил проведения экзаменов на право управления транспортными средствами и выдачи водительских удостоверений, утвержденные постановлением Правительства Российской Федерации от 24 октября 2014 г. N 1097 "О допуске к управлению транспортными средствами" и управлять транспортными средствами.