Имеет ли право ППС написать протокол за страховку что она просрочена?

Нет, Не имеет такого права.

Это не входит в его должностные обязанности.

Нет. Составлять протоколы об административных правонарушениях по ст. 12.37 КоАП РФ вправе начальник государственной инспекции безопасности дорожного движения, его заместитель, начальник центра автоматизированной фиксации административных правонарушений в области дорожного движения государственной инспекции безопасности дорожного движения, его заместитель, командир полка (батальона, роты) дорожно-патрульной службы, его заместитель, сотрудники государственной инспекции безопасности дорожного движения, имеющие специальное звание.

Да. Ответственность по с. 1 ст. 12.37 КоАП РФ. Штраф 500₽.

Просрочена означет отсутствие.

Нормы права:

2.1. Водитель механического транспортного средства обязан:

2.1.1. Иметь при себе и по требованию сотрудников полиции передавать им, для проверки: … страховой полис обязательного страхования гражданской ответственности владельца транспортного средства.

Постановление Правительства РФ от 23.10.1993 N 1090 (ред. от 24.10.2022) "О Правилах дорожного движения" (вместе с "Основными положениями по допуску транспортных средств к эксплуатации и обязанности должностных лиц по обеспечению безопасности дорожного движения")