Если в ДНР паспорте стоит печать "Военообязан" обязательно ли ставить её в Российском паспорте?

Если у вас есть военный билет, то статус ваш там прописан. В паспорте не обязательно его ставить.

Два паспорта? Как это?

1. Со дня принятия в Российскую Федерацию Донецкой Народной Республики и образования в составе Российской Федерации нового субъекта граждане Донецкой Народной Республики, граждане Украины и лица без гражданства, постоянно проживавшие на этот день на территории Донецкой Народной Республики или ранее постоянно проживавшие на указанной территории и выехавшие из Донецкой Народной Республики в Российскую Федерацию, в том числе через территории третьих государств, а также их несовершеннолетние дети приобретают гражданство Российской Федерации в результате признания их гражданами Российской Федерации при условии принесения Присяги гражданина Российской Федерации.

2. Лицам, указанным в части 1 настоящей статьи, паспорт гражданина Российской Федерации, являющийся основным документом, удостоверяющим гражданство Российской Федерации и личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации, выдается после принесения Присяги гражданина Российской Федерации.

Ст. 5, Федеральный конституционный закон от 04.10.2022 N 5-ФКЗ (ред. от 28.04.2023) "О принятии в Российскую Федерацию Донецкой Народной Республики и образовании в составе Российской Федерации нового субъекта - Донецкой Народной Республики"