Можно ли прописаться гражданину РБ в собственную квартиру, купленную в СПБ? Если можно, то что для того нужно?

Да можете. Для этого нужно:

Постановление Правительства РФ от 15.01.2007 N 9

(ред. от 05.04.2016)

«О порядке осуществления миграционного учета иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации»

3. Постоянно или временно проживающий в Российской Федерации иностранный гражданин, обладающий правом пользования жилым помещением, находящимся на территории Российской Федерации, для осуществления регистрации по месту жительства подает непосредственно в территориальный орган Федеральной миграционной службы в месте нахождения жилого помещения заявление иностранного гражданина или лица без гражданства о регистрации по месту жительства установленной формы (далее — заявление о регистрации).

Заявление о регистрации подается в течение 7 рабочих дней с даты получения иностранным гражданином разрешения на временное проживание или вида на жительство либо с даты его прибытия в место нахождения указанного жилого помещения.

(абзац введен Постановлением Правительства РФ от 10.11.2009 N 913)

4. В заявлении о регистрации иностранный гражданин должен указать следующие сведения:

а) фамилия, имя, отчество;

б) дата рождения;

в) гражданство (подданство);

г) вид и реквизиты (серия, номер, дата и место выдачи, срок действия) документа, удостоверяющего личность и признаваемого Российской Федерацией в этом качестве (далее — документ, удостоверяющий личность иностранного гражданина);

д) вид и реквизиты документа, подтверждающего право на проживание в Российской Федерации;

е) адрес, по которому иностранный гражданин просит его зарегистрировать;

ж) документы, подтверждающие право пользования жилым помещением в соответствии с законодательством Российской Федерации;

з) адрес регистрации по последнему месту жительства.