Как правильно действовать после выигрыша суда у банка - обращаться в ВС РФ или снова подавать иск в суд общей юрисдикции?

Вы что-то путаете в описании ситуации - апелляционная инстанция рассмотрела апелляционную жалобу банка и вынесла своё определение.

Но это не так важно.

Процессуально - если начиналось рассмотрение в райсуде (не мировой в первой инстанции), то у Вас только ВС РФ остался -

Статья 390.2. Право на обращение в судебную коллегию Верховного Суда Российской Федерации,

но там шансов нет практически - всем почти отписки судья пишет на 2 страницы однотипных.

Что касается подачи иска в суд - то его суд может не принять - если предмет и основания те же самые - это раз. И два - если Вы одновременно подадите и заявление о восстановления срока - ст. 112 ГПК РФ, то суд может и не восстановить, при это не путайте процессуальные срок и срок исковой давности.

ГК РФ Статья 205. Восстановление срока исковой давности

В исключительных случаях, когда суд признает уважительной причину пропуска срока исковой давности по обстоятельствам, связанным с личностью истца (тяжелая болезнь, беспомощное состояние, неграмотность и т.п.), нарушенное право гражданина подлежит защите. Причины пропуска срока исковой давности могут признаваться уважительными, если они имели место в последние шесть месяцев срока давности, а если этот срок равен шести месяцам или менее шести месяцев - в течение срока давности.

Более того, раз про вклад речь, то можно на ст. 208 ГК ФР упирать - но всё конкретно...

У Вас речь всё же про процессуальный срок обращения в суд после решения фин уполномоченного... ст. 112 ГПК РФ...