И в дальнейшем оформить ее на себя или ребенка (сколько придется платить в этом случае)

Сначала нужно у нотариуса определить доли и произвести регистрацию доли отца после ее установления.Если завещания мать не оставила, то наследники доли в квартире по закону в равных долях: муж и дети.Внук наследует в размере доли его отца( матери), если к моменту смерти бабушки нет в живых того из родителей, который наследовал бы по закону после её смерти.Налог на наследство не платит супруг и другие наследники, если они проживали вместе с умершей, поэтому на этих наследников и нужно оформлять наследственную долю.В дальнейшем если переоформлять право собственности на квартиру при жизни отца, то лучше делать это по договору купли-продажи, так как в этом случае не облагается налогом у продавца в 2000г.стоимость квартиры в пределах 417450 руб., а в 2001г.на ту долю, которую отец имел в собственности более 5 лет не уплачивается налог с дохода от продажи на всю стоимость, а по унаследованной доле,если право собственности на неё возникло недавно(менее 5 лет)- на сумму не превышающую в целом 1000000руб.( ст.220 ч 2 НК РФ).При наследовании не проживающими вместе с наследодателем наследниками квартиры не облагается налогом стоимость доли квартиры по справке ПИБ в размере 850 МРОТ(1 МРОТ=83,49руб. в 2000г. и 100руб. в 2001г.)Можно просто сыну(дочери) просто зарегистрироваться в квартире с отцом и тогда при наследовании не нужно будет платить налог, если, конечно, не появится других наследников, которым отец может завещать квартиру, либо появлению другой наследницы по закону( вступление отца в новый брак).Если опасаться последнего, то лучше от своей наследственной доли не отказываться в пользу отца.