Обязаны ли мы заключать трудовые договоры с такими работниками?

Трудовые отношения возникают на основании трудового договора (ст. 16 ТК РФ). Трудовой договор, не оформленный надлежащим образом, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех дней со дня фактического допущения работника к работе.

Трудовой договор нужно заключать со всеми, в случае нарушения Вы можете быть привлечены к административной ответственности в соответствии со ст. 5.27. КоАП РФ.