Как вывести ребенка из страны, когда отец категорически запрещает?

По решению суда.

Если ребенок выезжает хотя бы с одним из родителей, то согласия второго не требуется - если он прямо не заявил о своем несогласии.

Это следует из закона, на это обратили внимание ФСБ России, Пограничная служба в письме от 27.06.2007 N 21/7/1/3: "Информируем, что в случае выезда из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации совместно с одним из родителей согласия на выезд ребенка за границу от второго родителя не требуется, если от него не поступало заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации своих детей, оформленного в соответствии с положениями Постановления Правительства Российской Федерации от 12 мая 2003 г. N 273 "Об утверждении Правил подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации".

Если он официально подал заявление о несогласии выезда ребенка, то решать вопрос надо только в судебном порядке.