Как дочь покойного получила наследство, если не была на иждивении и не инвалид?

Какие именно действия нотариуса можно оспорить? Выдача справки? Или открытие наследственного дела?

Если дело открыла дочь, раньше вас, то нарушений со стороны нотариуса нет. Он принимает заявления от любых наследников.

Цитирую "Методические рекомендации по оформлению наследственных прав" (утв. решением Правления ФНП от 25.03.2019, протокол N 03/19):

5.3. Лицо, подавшее в наследственное дело заявление о принятии наследства до призвания такого лица к наследованию, в случае его призвания к наследованию в дальнейшем, считается принявшим наследство, если только не откажется от наследства до истечения срока для принятия наследства. При наличии в наследственном деле заявления о принятии наследства наследника предшествующей очереди или наследника по завещанию, заявление лица о принятии наследства до призвания такого лица к наследованию не учитывается при выдаче свидетельства о праве на наследство, что разъясняется заявителю.

То есть открыть дело дочь могла, получить справку о том, что является наследником тоже.

Если речь идёт не о справке, а о свидетельстве, то нужно разбираться с ситуацией подробнее

Так как дочь была первой, кто обратился к нотариусу и открыл наследственное дело, то нотариус все сделал, как установлено в правилах.

Справка не даёт никаких прав на имущество, а служит лишь уведомлением для организацией, банков, иногда жэка, что лицо является наследником, что открыто наследственное дело.

В целом, те же права дают и другие документы, которые есть у дочери на руках: свидетельство о смерти отца, её свидетельство о рождении.