Как изменить свидетельство о рождении ребенка без указания отца и без усыновления?

Ни как, только регистрировать брак и Только в судебном порядке,путем усыновления.

Не соглашусь с адвокатом, исходя из норм законодательства не требуется усыновление:

Про затвердження Положення про порядок зміни, доповнення, поновлення та анулювання актових записів [...]

Мін'юст України; Наказ, Положення від 26.09.2002 № 86/5

2. Унесення змін, доповнень до актових записів цивільного стану

Заява про визнання батьківства після реєстрації народження,

яка є підставою для внесення змін до актового запису про

народження і не може бути подана особисто, може бути подана через

представника або надіслана поштою за умови її нотаріального

засвідчення. Повноваження представника мають бути нотаріально

засвідчені.

Якщо в актовому записі про народження дитини батьком указаний

чоловік заявниці або інша особа (за винятком випадків,

передбачених статтею 135 Сімейного кодексу України ( 2947-14 ), то

в унесенні змін стосовно визнання батьківства має бути відмовлено

до вирішення судом питання щодо виключення з актового запису про

народження відомостей про батька.

Это значит, что отказывают во всех случаях, кроме регистрации на основании ст.135 СК, как раз со слов матери, без признания отцовства. Так что есть все основания внести изменения в РАГСе.

2.9. Підставою для внесення змін в актові записи цивільного

стану є:

- заява матері, яка не перебуває у шлюбі, опікуна,

піклувальника або самої повнолітньої особи щодо внесення

відомостей про батька дитини, якщо вони не зазначені в актовому

записі про народження відповідно до статті 135 Сімейного кодексу

України ( 2947-14 );

2.12. Зміни, доповнення, виправлення вносяться в актові

записи цивільного стану.

За наявності заяви матері та батька дитини про визнання

батьківства в актовий запис про народження, який складено

відповідно до статті 135 Сімейного кодексу України ( 2947-14 ),

уносяться відомості про батька, змінюється по батькові дитини і,

на бажання батьків, змінюється її прізвище.